在未立遗嘱的情况下，遗产的分配遵循法定继承顺序。根据中国的《中华人民共和国民法典》（简称《民法典》），法定继承分为两个层次：第一顺序继承人和第二顺序继承人。第一顺序继承人包括配偶、子女、父母；而第二顺序继承人则包括兄弟姐妹、祖父母和外祖父母。当存在第一顺序继承人时，第二顺序继承人将被排除在继承范围之外。

具体而言，如果被继承人死亡时，其第一顺序继承人均健在，则这些继承人将按照法律规定的份额继承遗产。如果第一顺序继承人中有人先于被继承人死亡，则该继承人的应继份额将由其直系晚辈血亲（如子女）代位继承。例如，如果被继承人的儿子已经去世，那么儿子的子女（即被继承人的孙子或孙女）有权继承属于父亲的那份遗产。

需要注意的是，在实际操作中，继承人之间可能会因为对遗产的具体分割产生争议。为了避免这种情况的发生，建议在生前明确自己的意愿并通过立遗嘱的方式指定继承人及遗产分配方案。这样做不仅能够避免家庭内部的纷争，还能确保个人的心愿得到尊重和实现。

《民法典》还规定了某些特殊情况下，即使没有立遗嘱，也可以通过口头形式指定继承人。这种情形下需要至少有两个无利害关系的见证人在场，并且整个过程要录音录像以保留证据。因此，在非紧急情况下，还是建议采取书面形式来表达自己的意愿。

对于那些希望通过立遗嘱来安排自己身后事的人来说，应当选择正规渠道办理相关手续。这不仅包括公证处提供的服务，还包括律师事务所提供的专业咨询与指导。只有这样，才能确保所立之遗嘱具有法律效力并能在必要时顺利执行。